Esempi sulle frequenze di vibrazione di sistemi meccanici

L’articolo di oggi vuole essere l’applicazione pratica di quanto spiegato nello scorso articolo: andremo pertanto a vedere 2 esempi pratici di vibrazioni di un sistema meccanico. Buona lettura.

Carrello fissato ad una molla

Il primo esempio è quello di un carrello vincolato su un lato tramite una molla, come mostrato in immagine sotto.

Si consideri:

  • k = 10 N/m (costante elastica di ciascuna molla)
  • m = 1 kg

Il primo passo sarà calcolare la frequenza propria del sistema

Supponiamo ora di forzare il moto con una forza avente intensità F=10N, applicata a 3 frequenze diverse:

  • 0.5 Hz
  • 1.5 Hz
  • 10 Hz

L’applicazione della forza sarà operata da un pistone posto sul lato indicato in immagine

Andiamo a calcolare l’ampiezza delle oscillazioni che avrebbe, scrivendone prima la formula generale

Otterremo rispettivamente:

Possiamo notare come nel primo caso, rappresentante le oscillazioni in fase quasi statica, esse abbiano entità contenuta, per amplificarsi nella fase vicina alla risonanza (a 1,5 Hz), e diventare infine quasi nulle per frequenze molto elevate (10 Hz). Tutto ciò dimostra perfettamente quanto espresso nella spiegazione teorica di questo articolo.

Bambino sull’altalena

Il secondo esempio che andremo a vedere è quello del bambino sull’altalena.

Supponiamo di considerare soltanto la massa del bambino, che fisseremo m=30 kg, e di trascurare quella del seggiolino; fissiamo la lunghezza dell’altalena a l = 2m.

Come nell’esercizio precedente, effettuiamo il calcolo della frequenza propria del sistema:

Come prima, immaginiamo di avere una forzante (che in questo caso possiamo indicare semplicemente come una persona che spinga l’altalena da dietro). Immaginiamo come prima che l’altalena venga spinta, con intensità 30 N, con 3 frequenze diverse:

  • 0.1 Hz
  • 0.3 Hz
  • 1 Hz

Come prima, andiamo a calcolare l’ampiezza delle oscillazioni nei 3 casi. In questo caso la formula generale sarà

Applicando i 3 valori di frequenza otterremo

Esattamente come nell’esempio di prima, ci troviamo di fronte ai 3 casi di moto “quasi statico”, risonanza e moto sismografico: gli effetti sono esattamente analoghi al primo esempio, come ci si attendeva. Ciò che succede nella realtà, quando un bambino viene spinto su un altalena, è avere una frequenza della pulsazione che segua quasi precisamente la frequenza propria del sistema, così da poter aumentare al massimo l’ampiezza delle oscillazioni oppure, a parità di ampiezza di oscillazioni, di mantenerla con il minor sforzo possibile.

Conclusioni

L’articolo di oggi voleva essere l’applicazione pratica di quanto spiegato nello scorso: spero che i contenuti fossero chiari e, soprattutto, di vostro gradimento.

Ci risentiamo nel prossimo articolo

Un saluto

Luca

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