Mongolfiera in aria

Terminate le vacanze, è tempo di tornare in pista con un nuovo articolo. Oggi analizzeremo secondo quale principio una mongolfiera stia in aria e come sia possibile regolarne l’altezza in volo. Buona lettura.

Principio di funzionamento

La mongolfiera è un veicolo aereo composto da un pallone ed un cestello attaccato ad esso. Essa ha la particolarità di avere un bruciatore rivolto verso la parte interna del pallone, il quale ha lo scopo di scaldarne l’aria contenuta. Tutto ciò rappresenta il cuore del suo principio di volo: difatti, l’aria calda ha una densità minore dell’aria fredda, pertanto il pallone tenderà a “galleggiare” (analogamente a quanto succede nell’acqua) in quest’ultima.

Tale galleggiamento avviene secondo il fenomeno chiamato spinta di Archimede (lo stesso che tiene a galla le barche in mare). Esso afferma che la spinta che un corpo immerso in un fluido riceve è pari al volume che esso occupa (quindi il volume del pallone, che indicheremo con V trascurando il volume occupato dalla cabina e dalle funi) per la densità del fluido in cui è immerso (vale a dire la densità dell’aria fredda) per l’accelerazione di gravità (9.8 m/s2). In formula:

Considerando la forza peso della mongolfiera, che considera sia il contributo di massa dell’aria calda, sia la massa di tutto ciò che viene trasportato (cabina, funi, pallone, viaggiatori) avrà la formula seguente

Facciamo ora la differenza tra questi 2 contributi, S-P, nel caso della mongolfiera in volo. Possiamo avere 3 casi:

  • S-P > 0, la spinta è superiore rispetto alla forza peso, pertanto il corpo tenderà a salire. Questa condizione dovrà verificarsi in fase di ascesa
  • S-P=0, la spinta è pari alla forza peso, pertanto il corpo sarà in equilibrio (non scenderà ne salirà). Questa condizione dovrà verificarsi in fase di crociera durante il volo
  • S-P<0, La spinta è inferiore alla forza peso, pertanto il corpo scenderà. Questa condizione dovrà verificarsi in fase di discesa del pallone. L’entità dell’accelerazione in discesa, come di quella in salita nel primo punto, dipenderà sempre dall’entità della differenza

Andando a sviluppare la formula S-P in dettaglio:

L’unico contributo su cui è fisicamente possibile agire durante il volo, per poter variare il risultato dell’operazione, è la densità dell’aria calda. Se aumentiamo la temperatura del bruciatore essa diminuirà, aumentando di conseguenza il risultato e facendo salire il pallone con maggiore accelerazione. Viceversa, riducendone la temperatura, si aumenterà la densità dell’aria calda, ottenendo l’effetto contrario.

Variazione di densità rispetto alla temperatura

L’aria, come tutti i gas, ha una comprimibilità molto elevata, pertanto subirà notevoli variazioni di volume a seguito di variazioni di temperatura e/o di pressione.

Cominiciamo con scrivere l’equazione dei gas perfetti:

Possiamo facilmente ricavare la densità dell’aria (massa/volume) secondo temperatura e pressione rielaborando tale equazione. Otterremo

Con R* si indica la costante dei gas specifica, che nel caso dell’aria assume il valore di 287.05 J/(Kg K). A parità di pressione, è possibile vedere la proporzionalità inversa che sussiste tra densità e temperatura.

Per fare un esempio, vediamo come varia la densità dell’aria tra 20°C (293 K) e 100 °C (373 K)

Applicando quindi la formula del paragrafo precedente, assumendo

  • Temperatura costante nel pallone a 100 °C, come indicato nell’esempio
  • Una massa totale della mongolfiera di 200 kg
  • Un volume del pallone di 4000 m3 (equivale ad un pallone di circa 20 metri di diametro)

possiamo individuare il comportamento della mongolfiera secondo la formula già descritta nel paragrafo precedente

Quindi il corpo salirà con la forza ottenuta per risultato, che equivale alla seguente accelerazione

E’ possibile inoltre individuare la temperatura di equilibrio, ovvero la temperatura che mantiene il pallone alla stessa quota. Per fare ciò è semplicemente necessario eseguire i passaggi a ritroso, invertendo la formula

E trovata la densità per l’equilibrio, troviamo con la legge dei gas perfetti a quale temperatura corrisponde

Conclusioni

Spero che quest’articolo, più matematico rispetto agli ultimi, sia stato di vostro gradimento. Attendo i vostri commenti

A presto

Luca

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