Pressione e velocità di fluidi in movimento

Introduzione

Nel prossimo articolo vedremo la relazione tra pressione e velocità in un fluido in movimento, aggiungendo alla spiegazione l’esempio pratico delle minigonne sulle automobili in formula 1. Buona lettura!

Teorema di Bernoulli

La relazione tra pressione e velocità di un flusso è regolamentata dal Teorema di Bernoulli. Assumiamo di avere un condotto con all’interno un fluido in movimento (aria ad esempio), al quale non stiamo dando potenza.

La formula di Bernoulli recita quanto segue:


Dove, in una stessa sezione, abbiamo che:

  • P indica la pressione del fluido
  • v indica la velocità del fluido
  • h indica l’altezza del centro della sezione

Per un generico flusso in cui non sto applicando potenza esterna (quindi non ho pompe) ed in cui trascuro le perdite di carico, il termine costante indica che il valore ottenuto in ciascuna sezione non deve mai variare. Questo significa che la formula riferita all’immagine sopra sarà:

(Da notare che per questo specifico caso, essendo le due altezze uguali tra di loro, i due termini che vi si riferiscono si annullerebbero l’un l’altro). Vediamo l’applicazione pratica su un paio di esempi.

Esempio: minigonne

Le minigonne che vediamo istallate sulle formula 1 utilizzano il principio sovracitato per creare un abbassamento di pressione sotto la macchina, che quindi viene “tirata” al suolo e può compiere una stessa curva a velocità maggiore.

Per ottenere l’effetto desiderato (effetto Venturi) il fondo della macchina è stato chiuso ai lati per essere analogo ad un tubo (da qui il nome minigonne, le chiusure laterali vi somigliano). Prendiamo l’immagine sotto:


Le due sezioni del “tubo fittizio” sono rappresentate qui sopra. In base alla formula di prima, ci servono i dati seguenti:

  • V1, che equivale alla velocità dell’automobile (ammettiamo 120 km/h, cioè 33.3 m/s)
  • P1, cioè la pressione atmosferica, 1 bar (100000 Pa)
  • H1, che è esattamente a metà dell’altezza della sezione. Supponendo che, all’inizio, la macchina sia alta da terra 20 cm (200 mm) e larga 1.5 m (1500 mm), H1 sarà 100 mm
  • V2 lo ricaviamo dalla conservazione della portata: poiché la quantità d’aria (al secondo) che passa sotto la macchina dovrà essere sempre la stessa, ad un restringimento di sezione corrisponderà un aumento di velocità. Supponendo che la sezione 2 abbia altezza 8 mm e larghezza sempre 1500 mm, dobbiamo fare il calcolo seguente:

(Nota: La portata viene calcolata come velocità del flusso x sezione di passaggio e viene misurata in m3/s o m3/h )

  • H2, sulla base di quanto detto prima, sarà la metà di 8 mm, cioè 4 mm
  • P2 è l’incognita che ricaveremo dall’equazione di Bernoulli

Sottraendo le 2 pressioni ottenute otteniamo

Assumendo che la macchina pesi 600 kg, quindi abbia una forza peso pari a 600∙9.8=5880 N, Aggiungendo il termine Bernoulli, la depressione che si genera “tira” la macchina al suolo, assumendo che la parte con fondo ribassato abbia larghezza 1500 mm e lunghezza 3500 mm, con la forza seguente:

Questo significa che la forza con cui la vettura è attirata a terra è 5880+15139=20239N, quasi 4 volte la forza senza minigonne!

Inoltre, se avessimo ripetuto il calcolo con 250 km/h di velocità, avremmo ottenuto un valore molto più alto di forza (provare per credere).

“L’effetto suolo”, come veniva chiamato in formula 1 quando le minigonne vennero introdotte alla fine degli anni 70, grazie alla forte “attrazione” al manto stradale, permetteva di raggiungere velocità in curva molto maggiori di quanto si potesse arrivare senza esse (la forza centrifuga in grado di “essere sopportata” da un veicolo senza scivolare è direttamente proporzionale alla forza impressa verticalmente sullo stesso): dati i rischi che ciò comporterà e dati gli incidenti che si verificheranno, la federazione abolirà in seguito tale soluzione.

D’altro canto, le ali degli aerei hanno un funzionamento che è esattamente il rovescio di quello appena spiegato: creando una depressione verso l’alto, si crea una forza di portanza, proporzionale alla velocità a cui sta viaggiando, che sostiene il veicolo in movimento.

Conclusioni

Fatemi sapere nei commenti se questo articolo è stato di vostro gradimento. A presto!

Luca

Domande di sintesi

  • Cosa descrive la formula di Bernoulli? Scrivere la formula e spiegarne i termini
  • Spiegare il principio di funzionamento delle minigonne e fare degli esempi numerici sui vantaggi che porta

31 risposte a “Pressione e velocità di fluidi in movimento”

  1. SONO UN TERMOTECNICO DI 83 ANNI IN PENSIONE. PER PASSARE IL TEMPO INSEGNO REFRIGERAZIONE A GRATIS.STO CERCANDO UNA FORMULA PER DIMENSIONARE UN TUBO CHE CON LA LUNGHEZZA E IL DIAMETRO FACCIA UNA CADUTA DI PRESSIONE CONTINUA. ES. GAS PROPANO. PRESSIONE INIZIALE 5 bar PRESSIONE FINALE RICHIESTA 1 bar.PORTATA 100 LITRI PER MINUTO. DIAMETRO DEL TUBO DI RAME 2,5 mm. ESISTE UNA FORMULA PER CALCOLARE LA LUNGHEZZA DELTUBO CHE DEVE FARE UNA CADUTA DI PRESSIONE CONTINUA DI 4 bar. HO FIDUCIA IN VOI PER UNA SOLUZIONE CORDIALI SALUTI ELLERO GORI.

    1. Buongiorno Ellero,
      Come dice nel suo messaggio, la formula esiste. Le invio per mail un foglio di calcolo che sviluppa quanti richiesto sopra
      Un saluto
      Luca

  2. Buongiorno Luca.
    Devo calcolare la portata (litri/minuto) di acqua su una tubazione con diam. 12.5mm e pressione applicata di 10 bar.
    Posso usare la seguente formula?
    q = 0.6*sqrt(2/rho)*Area_orifizio*sqrt(|P_alimentazione-P_utenza|)
    dove
    – 0.6 è il coefficiente di efflusso (è il valore più comune)
    – rho è la densità del fluido
    – Area_orifizio [m^2] è l’area dell’orifizio
    – P_alimenazione [Pa] è la pressione di mandata
    – P_utenza [Pa] è la pressione nella camera ove giunge il fluido (nel mio caso è la pressione atmoferica)

    Ovvero 19,44lt/min…

    Grazie

        1. Buongiorno Antonio,
          Ho rifatto il calcolo ma il risultato che risulta non è uguale al tuo (mi esce circa 310 l/min)
          Mandami per mail i calcoli che hai svolto (luca.dbernardi@gmail.com), così da poterli vedere
          Grazie
          Luca

    1. Vl= v x A =dm^3/s

      Vl = (Øi²·π·l)/4
      Questo é quello che so, e mi piacerebbe capire come si trova la velocita di un fluido (acqua) conoscendo diametro interno e pressione

      1. Per effettuare quanto chiedi dovremmo conoscere i contributi di pressione statica e dinamica, il calcolo andrebbe effettuato specificamente a seconda dell’impianto (la configurazione della linea puó farne variare i valori).

        Possiamo far valere il calcolo seguente qualora tutta la pressione si traduca in velocitá, ad esempio quando un tubo si interrompe ed il getto esce a cielo aperto:

        P[Pa]=1/2*densità[kg/m3]*v^2[m2/s2]

        Facendo la formula inversa

        V[m/s]=radq(2*P[Pa]/densità[kg/m3])

        Non ti serve conoscere il diametro per trovare la velocità, ma al contrario partendo dalla velocità l’informazione del diametro ti farà trovare la portata.

        Spero di esserti stato utile

        Un saluto

        Luca

  3. Caro Luca,
    sono spiacente ma il calcolo da te effettuato è totalmente errato.
    Dopo aver ricontrollato, il dato corretto e confermato è 20,25lt/min.
    Grazie lo stesso
    Antonio

    1. Buonasera Antonio,

      Ho rifatto il calcolo anche io, svolgendo quanto segue

      0,6 * sqrt(2/1000 [kg/m3]) * (3,14*(0,0125)^2/4) [m^2] * sqrt((10-1)*10^5 [Pa]) = 3,1 * 10^(-3) m3/s

      Moltiplicando per 1000 (passaggio da m3 a litri) e per 60 (passaggio da min a secondi) ottengo 187,2 l/min come risultato finale

      Mi farebbe piacere vedere i tuoi calcoli per confrontarli con i miei

      Un saluto

      Luca

      Mi farebbe piacere confrontare i miei calcoli con i tuoi,

  4. Ciao Luca,

    Buon Anno 2020!
    Mi spieghi come fanno a passare 187,2lt/min attraverso un tubo del diam. 12,5mm?
    Sono la bellezza di 3,12lt/sec!
    Sicuramente qualcosa non funziona…
    A.

    1. Caro Antonio,

      Buon 2020 anche a te!

      3.12 l/s corrispondono a circa 28 m/s di velocità dell’acqua, di sicuro non stiamo parlando di cifre così assurde (considerando che 10 bar di pressione non siano pochi per un impianto idraulico)
      Ti ho riportato calcoli controllati più e più volte e paragonati con dati reali, dei quali sono pertanto sicuro. Non ho purtroppo avuto il piacere di vedere quelli che tu hai svolto per darti un riscontro in merito
      Vedo però che, nonostante l’evidenza analitica, tu resti del tuo parere, non è pertanto mia intenzione proseguire oltre questa discussione, quello che posso augurarti è che tu possa trovare un riscontro pratico dai dati che hai trovato

      Ti auguro il meglio

      Luca

  5. Buongiorno Luca,
    dobbiamo stimare il valore di pressione di una macchina per poter spingere aria fredda d’estate da un’altezza h ad un’altezza h1 (con h1>h).
    Sai indicarci quale formula utilizzare? Grazie mille

  6. Buongiorno Luca,
    le ho già scritto ieri il mio quesito ma mi sono resa conto che dalla fretta non mi sono presentata e non è chiara la situazione che dobbiamo affrontare.
    Sono Claudia, ingegnere ambientale, e collaboro con uno studio termotecnico per il quale devo risolvere il quesito.
    Dobbiamo realizzare un impianto ad aria in un’abitazione, le cui macchine di condizionamento saranno poste al piano interrato dell’edificio stesso e bisognerà portare il condizionamento fino al piano primo tramite canalizzazioni.
    In fase invernale l’aria riscaldandosi diventa più leggera quindi salirà al piano primo in maniera naturale (calcolando comunque le perdite di carico concentrate e distribuite), mentre in fase estiva l’aria è più pesante e quindi avrà bisogno di un contributo di pressione aggiuntivo dato dal ventilatore. Che formula devo applicare per sapere il valore di pressione aggiuntiva che devo dare all’aria fredda per salire fino al piano primo?
    Utilizzando Bernoulli mi risultano circa 10 Pa/m per salire dal piano terra al piano primo, però non mi sembra tanto corretto…
    Dati che ho utilizzato:
    Densità aria non climatizzata: 1,2 kg/m3
    H aria non climatizzata: 1 m
    Densità aria climatizzata: 1 kg/m3
    H aria al 1° Piano: 8 m

    Grazie di nuovo
    Claudia

    1. Buongiorno Claudia,

      Grazie anzitutto per il commento. Bernoulli è di sicuro la formula da utilizzare, bisogna poi aggiungere (come giustamente faceva notare) le perdite di carico concentrate e distribuite.

      Inoltre, essendo sicura della convezione naturale del fluido in inverno, è possibile arrivare al risultato anche in base al delta T, che farà variare la densità del fluido (ragionando quindi per differenza di densità)

      Proverò a svolgere il calcolo e le farò sapere cosa otterrò come risultato, avrei bisogno di sapere quanto segue:
      -La densità dell’aria NON climatizzata si riferisce all’estate immagino, che temperatura ha considerato a riguardo? Che densità e temperatura dell’aria NON climatizzata ha considerato per l’inverno?
      -Qual’è il valore di portata d’aria necessaria ed il diametro delle tubazioni?

      Grazie e buon lavoro

      Luca

      1. Buongiorno Luca,
        innanzitutto grazie per la risposta che mi ha inviato. Rispondo di seguito alle sue domande:
        1-risp) ESTATE: densità 1,16 kg/m3 per T 26°C (con 50% umidità relativa) in ingresso
        ESTATE: densità 1,23 kg/m3 per T 12°C in uscita
        INVERNO: densità 1,20 Kg/m3 per T 20°C in ingresso
        INVERNO: densità 1,12 Kg/m3 per T 40°C in uscita
        2-risp) La macchina ha una portata di 900 m3/h; le tubazioni in uscita dalla macchina sono del Ø 75 mm interno.

        Di nuovo grazie, buon lavoro e buona giornata
        Claudia

        1. Buongiorno,

          Mi scusi anzitutto se rispondo con ritardo.

          Ho rivisto il problema più attentamente: considerando che l’aria viene prima scaldata e poi percorre gli 8 metri in salita a densità costante (non avendo quindi una variazione di densità lungo il percorso), possiamo considerare che la salita naturale invernale e la conseguente resistenza estiva sia data dalla differenza tra la densità dell’aria nell’ambiente esterno ed interno. Potremmo quindi utilizzare la spinta di Archimede per il calcolo della potenza richiesta al ventilatore per mantenere l’aria fredda “in equilibrio” nel tubo

          Facendo la differenza tra densità in ingresso ed in uscita otterremo 0.07 kg/m3. Per calcolare in Watt la potenza necessaria a spingere l’aria verso l’alto dobbiamo pertanto svolgere la seguente formula:

          Potenza_G=delta_densità*h*g*Portata volumetrica(in m3/s) (mi risulta circa 0.17W)

          A ciò andrà aggiunto il contributo di potenza per muovere il fluido alla velocità desiderata per raggiungere la portata di progetto

          Potenza_V=0.5*Vel^2*dens*portata_volumetrica(in m3/s) (mi risulta circa 493W)

          Fatto questo andranno quantificate le perdite di carico ed aggiunte alla potenza necessaria.

          La somma dei 3 contributi dovrebbe dare la potenza totale necessaria. Con potenza e portata potrete poi scegliere il ventilatore a voi adatto

          L’approccio rispetto a Bernoulli considera il contributo dovuto alla spinta di archimede, così da poter essere usato anche nel caso invernale (in quel caso il contributo sarebbe con segno opposto)

          Provi ad utilizzare questo approccio e mi faccia sapere se i risultati che ottiene sono verosimili

          Spero di essere stato d’aiuto

          Un saluto

          Luca

          1. Grazie per i calcoli. A noi servirebbe
            però calcare la pressione aggiuntiva da fornire all’aria fredda per salire fino al piano primo in Pascal in quanto abbiamo questo come riferimento da seguire. Riesce ad aiutarmi ulteriormente? Grazie di nuovo

          2. Nessun problema, dividendo il risultato in potenza spiegato nel commento precedente (il valore totale, somma dei 3 contributi indicati) per la portata volumetrica (m3/s), otterrete il valore di pressione totale (in Pa) che il ventilatore dovrà fornire per spingere l’aria fino all’altezza desiderata

            Spero di essere stato d’aiuto

            Un saluto

            Luca

  7. Salve, vorrei sapere come si calcola pressione di un fluido in un tubo a sezione variabile con una pressione nella sezione maggiore di 151500 Pà e velocità 10 m/s e densità di 1000kg/m3. Della sezione minore ho solo la velocità che è di 12 m/s. Grazie

    1. Buongiorno Marco,

      il fluido immagino sia a densità costante (dal valore dovrebbe essere acqua). Puoi utilizzare la formula di Bernoulli, che rielaborata per questo caso diventa:
      P_2 = P_1+dens/2*((v_1)^2-(v_2)^2) = 151500+1000/2*(10^2-12^2) = 151500-22000 = 129500 Pa

      Spero di esserti stato utile

      Un saluto

      Luca

  8. Caro Luca, grazie x l’articolo chiaro e utile. La mia domanda riguarda l’applicazione di quanto descritto ad un problema di irrigazione goccia a goccia. L’alimentazione avviene con una linea da 32mm ad una pressione di 2 bar. A questo è collegato con un raccordo a T un tubo chiuso ad anello da 20mm, dal quale partono gli ugelli irrigatori. L’obiettivo è di massimizzare la portata agli ugelli. La domanda è quindi la seguente: per collegare l’anello alla linea, è preferibile usare un raccordo a ‘T’ da 32mm e poi due riduttori da 32–>20 oppure usare prima un unico riduttore da 32–>20 e poi usare un T da 20. Mi chiedo comunque se Bernoulli possa applicarsi in questo caso. Grazie anticipate, anche da parte delle mie piante.
    Stefano, Arzachena (Olbia-Tempio)

    1. Ciao Stefano,

      Grazie a te per la tua domanda. Senza dubbio Bernoulli si applica in questo problema, ma per rispondere alla tua domanda specifica si dovrà fare ricorso al calcolo delle perdite di carico.

      La soluzione migliore è l’utilizzo della T da 32 con 2 riduzioni a 20 successive. Difatti, la perdita di carico più gravosa risulta essere la T stessa, è pertanto necessario passare da essa con la minor velocità possibile (in quanto le perdite di carico sono direttamente proporzionali ad essa)

      Spero di essere stato d’aiuto a te ed alle tue piante 🙂

      Buona giornata

      Luca

  9. Gentile Luca,
    Grazie per la rapida e puntuale risposta, dalla quale ne deduco che sono solo le perdite di carico dovute ai raccordi che influenzano la portata agli ugelli, mentre i cambiamenti di sezione dei tubi non sono di per sé rilevanti a causa della costanza della portata iniziale. Giusto?
    Cordiali saluti da Arzachena.
    Stefano

    1. I cambiamenti di sezione sarebbero rilevanti per le perdite distribuite (la perdita di carico è funzione della velocità), ma in questo caso i tratti da 32 mm e da 20 mm non variano di lunghezza tra prima e dopo, pertanto le perdite distribuite restano invariate. L’unica variazione avviene nella connessione tra linea ed anello, quindi nelle perdite di carico concentrate.
      Spero di esserti stato utile
      Grazie per il tuo commento
      Luca

  10. Questo post è fantastico, leggo il vostro blog ogni giorno
    e condivido tutti gli articoli interessanti anche con i miei follower
    su Facebook e la mia lista di e-mail. Vi prego
    di continuare a pubblicare, grazie.

  11. Ciao , avrei bisogno di una mano…
    devo calcolare la portata in litri/minuto su un tubo Ø6,4 a diverse pressioni 60 bar , 30 bar e 10 bar ; tenendo conto che all’interno del tubo passa olio con viscosità al 46%.
    gentilmente potrebbe darmi una mano

  12. Buonasera Luca
    La mia è una curiosità “fisiologica”:
    Calcolare la massima pressione di uno starnuto.
    Considerando che (fonte Wikipedia) la velocità dell’aria può raggiungere i 160 km/h e che il diametro della trachea è 2 cm mediamente in un adulto, la lunghezza è 12 cm e trascurando perdite di carico e (forzando un pò) trascurando anche l’allargamento di sezione che si ha passando dalla trachea alla laringe.
    Che pressione Max si potrebbe raggiungere?

    1. Ciao Alessandro,

      In questo caso basterà considerare tutta la velocità convertita in pressione dinamica, in formule:

      Pd=1/2*dens*v^2

      Attenzione alle unità di misura: velocità in m/s e densità (dell’aria) in kg/m^3.

      Spero di esserti stato utile

      Un saluto

      Luca

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